Tính tích phân $I=\int_{3\sqrt{2}}^{6}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-9}}$

Tính tích phân $I=\int_{3\sqrt{2}}^{6}\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2-9}}$


Cách 1:

Ta có tích phân : $I= \int_{3\sqrt{2}}^{6} \dfrac{x\mbox{d}x}{x^2\sqrt{x^2-9}}$

Đặt $t = \sqrt{x^2-9} \Rightarrow t^2=x^2-9 \Rightarrow t\mbox{d}t=x\mbox{d}x$
Đổi cận $x= 3\sqrt{2} \Rightarrow t =3 ; \;\; x=6 \Rightarrow t=3\sqrt{3}$

Vậy : $I= \int_{3}^{3\sqrt{3}} \dfrac{t\mbox{d}t}{(t^2+9)t}= \displaystyle \int_{3}^{3\sqrt{3}} \dfrac{\mbox {d}t}{t^2+9}$

Đặt $t = 3\tan u, t \in \left( -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right ) \Rightarrow \mbox{d}t=3(1+\tan^2u)\mbox{d}u$
Đổi cận $t=3 \Rightarrow u = \dfrac{\pi}{4} ; t=3\sqrt{3} \Rightarrow u= \dfrac{\pi}{3}$

Vậy : $I= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{\pi}{3}} \dfrac{1}{3}\mbox{d}u= \dfrac{u}{3}\bigg|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3} }=\dfrac{\pi}{36}$

Cách 2:

Đặt $x=\dfrac{3}{\sin t}, t \in \left ( 0; \dfrac{\pi}{2}\right ) \Rightarrow dx=-\dfrac{3\cos t}{\sin^2t}dt$
Đổi cận $x=3\sqrt{2} \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{4} \; ;\; x=6 \Rightarrow t= \dfrac{\pi}{6}$

Vậy: $ I=-\int^{\frac{\pi}{6}}_{\frac{\pi}{4}}\dfrac{3\cos t}{\sin^2t.\dfrac{3}{\sin t}.\sqrt{\dfrac{9.(1-\sin^2t)}{\sin^2t}}}\mbox{d}t =\int_{\frac{\pi}{6}}^{ \frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{3}\mbox{d}t =\dfrac{t}{3}\bigg|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4} } =\dfrac{\pi}{36}$