Tìm nguyên hàm $\int e^x.\cos 3x.dx $

Tìm nguyên hàm $I = \int e^x.\cos 3x.dx $


Đặt
$\begin{matrix}u &=& \cos 3x &\Rightarrow &  du &=& -3\sin 3x.dx \\ dv &=& e^x.dx &\Rightarrow & v &=& e^x \end{matrix}$

$I=e^x.\cos 3x+3 \int e^x.\sin 3x.dx=e^x.\cos 3x+3 J$

Tính $J = \int e^x.\sin 3x.dx$

Đặt
$\begin{matrix}u_1 &=& \sin 3x &\Rightarrow & du_1 &=& 3\cos 3x.dx \\ dv_1 &=& e^x.dx &\Rightarrow & v_1 &=& e^x \end{matrix}$

$J=e^x.\sin 3x-3 \int e^x.\cos 3x.dx=e^x.\sin 3x-3I$

Vậy $I=e^x.\cos 3x+3(e^x.\sin 3x-3I) \Leftrightarrow I=\dfrac{e^x(\cos 3x+3\sin 3x)}{10}+C$

Dạng này ta dùng tích phân từng phần 2 lần