Tìm nguyên hàm $\int \cos(\ln x)dx$

Tìm nguyên hàm $I=\int \cos(\ln x)dx$


Đặt $t = \ln x \Rightarrow x = e^t \Rightarrow dx=e^tdt$

$I= \int e^t.\cos t.dt$

Đến đây là tính tích phân từng phần 2 lần

Đặt $u=\cos t  \Rightarrow du=-\sin t\\ dv = e^t.dt \Rightarrow v = e^t$
$I= e^t. \cos t + \int e^t.\sin t.dt =e^t. \cos t + I_1$

Tính $I_1$
 Đặt $u_1=\sin t  \Rightarrow du_1=\cos t\\ dv_1 = e^t.dt \Rightarrow v_1 = e^t$
$I_1 = e^t. \sin t - \int e^t.\cos t.dt =e^t. \sin t - I$

Vậy: $I = e^t. \cos t +e^t. \sin t - I \Leftrightarrow I = \dfrac{e^t.(\cos t + \sin t)}{2} + C$