Tính tích phân $I=\int^{3}_{1}\dfrac{1+\ln (x+1)}{x^2}dx$

Tính tích phân $I=\int^{3}_{1}\dfrac{1+\ln (x+1)}{x^2}dx$

$I=\int^{3}_{1}\dfrac{1}{x^2}dx + \int^{3}_{1}\dfrac{\ln (x+1)}{x^2}dx = I_1 + I_2$

Tính $I_2$

Đặt
$\begin{align} u=\ln (x+1) &\Rightarrow du = \dfrac{1}{x+1} \\ dv=\dfrac{1}{x^2}dx &\Rightarrow v=-\dfrac{1}{x}-1=-\dfrac{x+1}{x} \end{align}$

$I_2=-\dfrac{(x+1)\ln (x+1)}{x} \Big| _1^3+ \int^{3}_{1}\dfrac{1}{x}dx =-\dfrac{(x+1)\ln (x+1)}{x} \Big| _1^3+ \ln |x| \Big| _1^3=\ln 3-\dfrac{2}{3}\ln 2$

Kết quả : $I=\dfrac{2}{3}+\ln 3-\dfrac{2}{3}\ln 2$