Tính giới hạn $\lim \limits_{x \to +\infty} x^{2}\left (\sqrt{\frac{x+4}{x}}-\sqrt[3]{\frac{x+6}{x}}\right )$

Tính giới hạn $A =\lim \limits_{x \to +\infty} x^{2}\left (\sqrt{\dfrac{x+4}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{x+6}{x}}\right )$




Thông thường ta tách $A$ thành 2 bài như sau:

$A =\lim \limits_{x \to +\infty} x\left (\sqrt{x^2+4x}-\sqrt[3]{x^3+6x^2}\right )$

Tuy nhiên $\lim \limits_{x \to +\infty} \left (\sqrt{x^2+4x}-x+x-\sqrt[3]{x^3+6x^2}\right ) \\ = \lim \limits_{x \to +\infty} \left (\sqrt{x^2+4x}-x \right ) + \lim \limits_{x \to +\infty} \left (x-\sqrt[3]{x^3+6x^2}\right ) \\ = 2-2 = 0$

Như vậy ta $A$ có dạng $\infty .O$ vẫn không mất dạng vô định ! Ta đành khử dạng vô định bằng phương pháp cổ điển là nhân liên hiệp !



$A =\lim \limits_{x \to +\infty} x\left (\sqrt{x^2+4x}-\sqrt[3]{x^3+6x^2}\right ) $

 $= \lim \limits_{x \to +\infty} x \dfrac{\left ( \sqrt{x^2+4x}\right )^6- \left ( \sqrt[3]{x^3+6x^2}\right )^6}{ a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5} $ với $a=\sqrt{x^2+4x}, \,\,\, b=\sqrt[3]{x^3+6x^2}$

 $= \lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac{12x^5+64x^4}{ x^5.B} $ trong đó $ \lim \limits_{x \to +\infty} B=6$

 $= 2$