Tính thể tích khối chóp S.AMCD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng CM và SA.

Cho hình chóp $S.ACD$ có đáy $ACD$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $SAD$ cân và $SA=SD=\dfrac{a\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$. Gọi $B$ là điểm đối xứng với $D$ qua trung điểm $O$ của cạnh $AC$, $M$ là trung điểm của $AB, SM$ vuông góc với $AB$. Tính thể tích khối chóp $S.AMCD$ và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng $CM$ và $SA$ theo $a$.

Do $BM=MA$ và $SM \perp AB$ nên $\Delta SAB$ cân tại $S$, suy ra $SB=SA=SD (1)$ (vì $\Delta SAD$ cân tại $S$)

Do $ABCD$ là hình bình hành và $\Delta ACD$ đều nên $CB=CA=CD=a (2)$

Từ (1) và (2): $SC \perp (ABCD)$

Trong tam giác vuông $SBC$ tính được $SC=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ và $S_{AMCD}=\dfrac{3}{2}S_{\Delta ACD} =\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{8}$. Vậy $V_{S.AMCD}=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{8}$

Gọi $N$ là trung điểm $CD$, ta có $MC // (SAN)$ nên $d(MC,SA)=d[MC,(SAN)]=d[C,(SAN)]=CH=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$ với $H$ là hình chiếu của $C$ trên $SN$