Tính mô đun của số phức $w=1+z+z^2$

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\dfrac{5(\overline{z}+i)}{z+1}=2-i$. Tính mô đun của số phức $w=1+z+z^2$

Điều kiện $z \neq -1$
Gọi $z=a+bi (a,b \in R).$ suy ra $\bar z = a - bi$

Ta có $\dfrac{5(\overline{z}+i)}{z+1}=2-i \\ \Leftrightarrow \dfrac{5(a - bi + i)}{a + bi + 1} = 2 - i \\ \Leftrightarrow 5(a-bi+i)=(2-i)(a+bi+1) \\ \Leftrightarrow 5a - 5(b - 1)i = 2a + 2 + b - (2b - a - 1)i \\ \Leftrightarrow \begin{cases} 5a = 2a + 2 + b \\ - 5(b - 1) = 2b - a - 1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases}a = 1 \\ b = 1\end{cases} \mbox{ (thỏa)}$

$z=1+i$ nên $w=2+3i$ suy ra $|w|=\sqrt{13}$