Tìm $z_1, z_2$. Biết $z_1+\frac{1}{z_2}=1+2i$ và $z_2+\frac{1}{z_1}=\frac{1}{2}−\frac{3}{2}i$

Tìm các số phức $z_1, z_2 (z_1, z_2 \neq 0)$. Biết $z_1+\dfrac{1}{z_2}=1+2i$ và $z_2+\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{2}−\dfrac{3}{2}i$

Nhân cả 2 vế của phương trình thứ 2 với $\dfrac{z_1}{z_2}$, ta thu được:
 $z_1+\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{z_1}{z_2}.(\dfrac{1}{2 }-\dfrac{3}{2}i)$
Từ đó ta suy ra:
$\dfrac{z_1}{z_2}.(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i) =1+2i \Leftrightarrow \dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{1+2i }{\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i}=-1+i$
Từ đó ta có: $z_2=\dfrac{z_1}{-1+i}$ thay vào biểu thức ban đầu ta được: $z_1+\dfrac{-1+i}{z_1}=1+2i \Leftrightarrow z_1^2-(1+2i)z_1-1+i=0$
Ta giải ra và thu được: $z_1=i; z_2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i$ và $z_1=1+i; z_2=-i$.