Tìm mp(P) qua I cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm $I(1;1;1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $I$ cắt các trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

mp$(P)$ cắt $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại $A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$

Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng $(P): \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$

Do $I \in (P)$ nên $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1 \;\;  (*)$

$I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
$\Leftrightarrow IA=IB=IC \Leftrightarrow (a-1)^2+2=(b-1)^2+2=(c-1)^2+2 $
$\Leftrightarrow |a-1|=|b-1|=|c-1|$

*Trường hợp $a-1=b-1$
$a-1=b-1=c-1 \Leftrightarrow \begin{cases} b=a \\ c=a \end{cases}$: Thế vào (*) được $a=b=c=3$
$a-1=b-1=-c+1 \Leftrightarrow \begin{cases} b=a \\ c=2-a \end{cases}$: Thế vào (*) vô nghiệm

*Trường hợp $a-1=-b+1$
$a-1=-b+1=c-1 \Leftrightarrow \begin{cases} b=2-a \\ c=a \end{cases}$: Thế vào (*) vô nghiệm
$a-1=-b+1=-c+1 \Leftrightarrow  \begin{cases} b=2-a \\ c=2-a \end{cases}$: Thế vào (*) vô nghiệm

Vậy $(P): \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{3}=1 \Leftrightarrow x+y+z-3=0$