Tìm mặt phẳng đi qua điểm, song song với đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $(d): \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-3}{1} = \dfrac{z}{4}$ và điểm $M(0; - 2;0)$. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng (d) đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) bằng 4.

Đặt $(P) : Ax + By + Cz + D = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B;C) \;\; (A^2+B^2+C^2>0)$

Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(1;1;4)$ và đi qua $I(1;3;0)$

Ta có $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{a} \Leftrightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}=0 \Leftrightarrow A+B+4C=0 \Leftrightarrow B=-A-4C$

Do $M \in (P) \Leftrightarrow -2(-A - 4C) + D = 0 \Leftrightarrow D = -2A - 8C$

$(P) : Ax - (A + 4C)y + Cz - 2A - 8C = 0$

Như vậy ta đã viết được dạng mặt phẳng qua điểm, song song với đường thẳng theo 2 tham số là A và C

Do $(d) // (P)$ nên $d[(d),(P)] = d[I,(P)] \\ = \dfrac{|A -3(A + 4C) -2A -8C|}{\sqrt{A^2+(A+4C)^2 +C^2}} = \dfrac{|-4A - 20C|}{\sqrt{2A^2+8AC+17C^2}}$

Theo giả thiết $d[(d),(P)] = 4 \Leftrightarrow 4|A+5C|=4 \sqrt{2A^2+8AC+17C^2} \Leftrightarrow A^2 - 2AC - 8C^2 = 0 (1)$

*Trường hợp C = 0 suy ra A = 0 Loại

* Trường hợp $C \neq  0 : (1) \Leftrightarrow \left( \dfrac{A}{C} \right)^2 - 2 \left( \dfrac{A}{C} \right) - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \dfrac{A}{C} = 4 \\ \dfrac{A}{C} = -2 \end{matrix}} \right.$

$\dfrac{A}{C} = 4$ Chọn A = 4 ; C = 1 ta được $(P): 4x - 8y + z - 16 = 0$

$\dfrac{A}{C} = -2$ Chọn A = 2 ; C = -1 ta được $(P): 2x + 2y - z + 4 = 0$


Bài 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng có phương trình $(d): \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z-1}{3}$. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

Hướng dẫn

Cách 1:

Mặt phẳng (P) qua điểm A, song song với (d) là $(P): Ax - (2A + 3C)y + Cz + 7C - 6A = 0$

Chọn điểm $M(1;0;1)$ trên (d)

$d=d[(d),(P)] = d[M,(P)] = \dfrac{|8C-5A|}{\sqrt{A^2+(2A+3C)^2 +C^2}} \\ \Leftrightarrow d^2= \dfrac{25A^2-8AC+64C^2}{5A^2+12AC+10C^2}$

Trường hợp C = 0: $d^2=5$

Trường hợp C $\neq$ 0: Chia tử và mẫu cho $C^2$ , đặt $t=\dfrac{A}{C}$ ta được:

$d^2=\dfrac{25t^2-8t+64}{5t^2+12t+10} \Leftrightarrow (25-5d^2)t^2 -4(2+3d^2)t+64-10d^2=0 (1)$

Để tồn tại $d^2$ nên (1) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \ge 0$ từ đây ta tìm được giá trị lớn nhất của $d^2$ tương ứng với t, rồi tìm được A, C.

Cách 2:

Gọi (d') là đường thẳng qua A và song song với (d); do mp(P) qua A và song song với (d) nên (P) chứa (d').

Chọn điểm M trên (d). Gọi K là hình chiếu của M trên (d'), gọi H là hình chiếu của M trên (P) nên d[(d),(P)] = d[M,(P)] = MH

Ta có MH $\le$ MK (không đổi) nên MH lớn nhất $\Leftrightarrow$ MH = MK $\Leftrightarrow$ H $\equiv$ K

Vậy mp(P) qua điểm A có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{MK}$