Tìm đỉnh $C$ của $\Delta ABC$, biết diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác $ABC$ có $A( -5;-2), B(-3;-4)$. Biết diện tích tam giác $ABC$ bằng $8$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $2\sqrt{5}$. Tìm tọa độ điểm $C$ có hoành độ dương.


Gọi $M$ là trung điểm $AB: M(-4;-3)$.
Phương trình đường trung trực của $AB$ là: $(d): x−y+1=0$
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, suy ra: $I \in (d) \Leftrightarrow I(x;x+1)$
Ta có: $IA=R=2\sqrt{5} \Leftrightarrow x^2+8x+7=0 \Leftrightarrow x=−1 \vee x=−7$
Phương trình đường thẳng $(AB): x+y+7=0$

Trường hợp $I_1(-1;0)$
Phương trình đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là $(C):(x+1)^2+y^2=20$
Ta có hệ phương trình:
$\begin{align} & \begin{cases} (x_C+1)^2+y_C^2=20 \\ AB.d[C,(AB)]=16 \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} (x_C+1)^2+y_C^2=20 \\ |x_C+y_C+7|=8 \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} (x_C+1)^2+y_C^2=20 \\ x_C+y_C=1 \vee x_C+y_C=-15 \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x_C=3 \\ y_C=-2 \end{cases} \end{align}$

Trường hợp $I_2(-7;-6)$
Khi đó tọa độ $C$ thỏa $(x_C+7)^2+(y_C+6)^2=20$.
Do $x_C >0 \Rightarrow (x_C+7)^2 >49 >20$ do đó trường hợp này không xảy ra.

Kết luận: tọa độ $C$ cần tìm là $C(3;-2)$