Cực trị hàm số $y=mx+\sqrt{x^2−2x+2}$

Cho hàm số  $y=mx+\sqrt{x^2−2x+2}$
a) Chứng minh hàm số không có cực đại, với mọi m.
b) Tìm m để hàm số có cực tiểu


a) D = R
Ta có $y′=m+\dfrac{x−1}{\sqrt{x^2-2x+2}} \Rightarrow y"=\dfrac{1}{(x^2-2x+2)\sqrt{x^2-2x+2}} > 0, \forall m \in \mathbb{R}$
Vậy hàm số không có cực đại, với mọi m.

b) Hàm số có cực tiểu $\Leftrightarrow y' = 0 $ có nghiệm
$\Leftrightarrow \dfrac{x−1}{\sqrt{x^2-2x+2}} = -m $ có nghiệm

Xét hàm số $g(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}$ trên R
Ta có $g'(x) >0, \forall x \in \mathbb{R}$ và
$\begin{cases} \underset{x \to -\infty}{lim} \dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}=-1 \; , \; \underset{x \to +\infty}{lim} \dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}=1\end{cases}$

nên $-1 < g(x) < 1$
Vậy hàm số có cực tiểu khi $-1 < m < 1 $