Chứng minh : $C_{100}^0 - C_{100}^2 + C_{100}^4 - ... + C_{100}^{100} = - {2^{50}}$
Ta có:
$\begin{matrix} (1 + i)^{100} &=& C_{100}^0 + C_{100}^1i + C_{100}^2{i^2} +C_{100}^3{i^3} + ... + C_{100}^{100}{i^{100}}\\&=& C_{100}^0 + C_{100}^1i - C_{100}^2 -C_{100}^3{i} + ... + C_{100}^{100}\\&=& \left ( {C_{100}^0 - C_{100}^2 + C_{100}^4 - ... + C_{100}^{100}} \right) + \left( {C_{100}^1 - C_{100}^3 + ... - C_{100}^{99}} \right )i \end{matrix}$
mà ${\left( {1 + i} \right)^2} = 1 + 2i + {i^2} = 2i \Rightarrow {\left( {1 + i} \right)^{100}} = {\left( {2i} \right)^{50}} = - {2^{50}}$
nên $C_{100}^0 - C_{100}^2 + C_{100}^4 - ... + C_{100}^{100} = - {2^{50}}$
Không có nhận xét nào :
Đăng nhận xét
Chào bạn, nếu có thắc mắc, khen - chê xin để lại bình luận. Mỗi nhận xét của bạn đều rất quan trọng. Rất vui khi bạn viết bằng tiếng Việt có dấu.