Tìm m để tổng hệ số góc bằng 10

Cho đồ thị (C) có phương trình $y=x^3−3x^2+(m+2)x+1$. Tìm tham số m để đường thẳng $(d): y=2x+1$ cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C ; tiếp tuyến tại A, B, C có hệ số góc $k_1, k_2, k_3$ sao cho $k_1+ k_2+ k_3=10$.


D=R
$y'=3x^2-6x+m+2$
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
$x^3-3x^2+mx=0 \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} x=0 \;\; (1) \\ x^2-3x+m=0 \; \; (2) \end{matrix} \right.$

(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow $ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow \begin{cases} m \ne 0 \\m<\dfrac{9}{4}\end{cases}$

Gọi $x_A=0$ thì $x_B, x_C$ là nghiệm của phương trình (2): $\begin{cases} x_B + x_C =3 \\x_B .x_C = m \end{cases}$
Ta có:
$\begin{cases} k_1=m+2 \\k_2 =3x_B^2-6x_B+m+2 \\k_2 =3x_C^2-6x_C+m+2 \end{cases}$

Theo giả thiết:
$k_1+ k_2+ k_3=10 $
$\Leftrightarrow 3(x_B^2 +x_C^2)-6(x_B +x_C )+3m+6=10 $
$\Leftrightarrow 3[(x_B +x_C)^2-2x_B.x_C]-6(x_B +x_C )+3m+6=10 $
$ \Leftrightarrow m=\dfrac{5}{3} $ thỏa