Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AC = 2AB . Điểm M(1;1) là trung điểm BC, N thuộc cạnh AC sao cho NC = 3AN, điểm D thuộc BC sao cho AD đối xứng với AM qua tia phân giác trong góc $\widehat{BAC}$. Đường thẳng DN có phương trình $3x-2y+8=0$ Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết C thuộc đường thẳng $d: x + y -7 = 0$

Hướng dẫn

Gọi F là trung điểm AC
BF cắt AD, AM tại P, G
Qua M vẽ đường thẳng song song với BF cắt AD tại I
Ta có G là trọng tâm tam giác ABC
Tam giác APB bằng tam giác AGF và tam giác APG cân nên BP = PG = GF
Do BF // IM nên $\dfrac{DM}{BD}=\dfrac{IM}{BP}=\dfrac{IM}{PG}=\dfrac{AM}{AG}=\dfrac{3}{2}$
suy ra $\dfrac{DM}{BM}=\dfrac{DM}{MC}=\dfrac{3}{5}$

nên  $5\overrightarrow {DM} = 3\overrightarrow {MC}$

Còn nhiều cách khác chứng minh 5DM = 3 MC

Ta có  $C \in d$ nên $C(c;7-c)$
Từ $5\overrightarrow {DM} = 3\overrightarrow {MC}$ tính được $D \left( \dfrac{8-3c}{5};\dfrac{3c-13}{5} \right)$
$D \in (DN)$ nên $3\dfrac{8-3c}{5}-2\dfrac{3c-13}{5}+8=0$
tính được  $c=6$ . Do đó $C(6; 1) , B(-4; 1)$

Lấy điểm $N \in (DN): \,\, N(6n;9n+4)$
Từ $3\overrightarrow {CA} = 4\overrightarrow {CN}$ tính được $A (8n-2; 12n+5)$
Do AC = 2 AB giải tìm được N, A: $A_1(-2;5) \vee A_2 \left( \dfrac{-350}{39};\dfrac{-71}{13} \right)$
KL