Tính tích phân $I= \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}+x} dx$

Tính tích phân $I=\displaystyle \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}+x} dx$


$I=\displaystyle \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(\sqrt{x^2+1}-x)\sin x dx=\displaystyle \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(\sqrt{x^2+1}\sin x dx-\displaystyle \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}x \sin x dx=I_1-I_2$

Tính $I_1$
Đặt $t=-x $
$\begin{align} \Rightarrow I_1 &=-\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{-\pi}{4}}(\sqrt{t^2+1}\sin (-t) dt \\ &=-\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(\sqrt{t^2+1}\sin t dt \\ &=-\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(\sqrt{x^2+1}\sin x dx=-I_1 \end{align}$
Vậy $I_1=0$

Tính $I_2$ : Dùng phương pháp từng phần tính được $I_2= \sqrt{2}-\dfrac{\pi \sqrt{2}}{4}$

Vậy $I= \dfrac{\pi \sqrt{2}}{4}-\sqrt{2}$