Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2, x_3, x_4$ thỏa mãn điều kiện $x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4 = 68$

Cho hàm số : $y = \dfrac{x^4}{4} - 2x^2 + m \,\, (1)$, $m$ là tham số thực. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ $x_1 , x_2 , x_3 , x_4$ thỏa mãn điều kiện $x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4 = 68$.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành: $\dfrac{1}{4} x^4- 2x^2+ m = 0 \,\, (2)$

Đặt $t = x^2$, Điều kiện : $t \geq 0$
$(2) \Leftrightarrow t^2-8t+4m = 0 \,\, (3)$

Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì (3) có 2 nghiệm dương phân biệt: $0 < t_1  <  t_2  \,\, (*)$

Khi đó nghiệm của (2) là: $x_1=-\sqrt{t_2}, x_2=-\sqrt{t_1}, x_3=\sqrt{t_1}, x_4=\sqrt{t_2}$
nên $x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4=2(t_1^2+t_2^2)$.
Theo đề bài: $2(t_1^2+t_2^2)=68 \Leftrightarrow (t_1+t_2)^2-2t_1t_2=34 \Leftrightarrow 64 - 8m = 34 \Leftrightarrow m=\dfrac{15}{4}$

Thử lại: Thế giá trị m vào (3), ta được : $t^2- 8t + 15 = 0 \Leftrightarrow t = 5 \vee t = 3 $ (thỏa)
Kết luận: $m=\dfrac{15}{4}$

Nếu giải (*) trước thì khi tìm được m ta chỉ cần so sánh với (*) rồi kết luận nhưng bài giải sẽ dài hơn !