Toán 10: Bất đẳng thức cơ bản

Toán 10:

1. Cho $a, b >0$ và $a^3 + b^3 =2$. Chứng minh
a) $a + b \le 2$ .
b) $a^2 + b^2 \le 2$.


Hướng dẫn:
 a) Áp dụng BĐT Cauchy:
$\begin{cases} 1+1+a^3 \ge 3\sqrt[3]{a^3}=3a \\ 1+1+b^3 \ge 3\sqrt[3]{b^3}=3b \end{cases}$
suy ra: $4+(a^3+b^3) \ge 3(a+b)  \Leftrightarrow a + b \le 2$

b) Áp dụng BĐT Cauchy:
$\begin{cases} 1+a^3+a^3 \ge 3\sqrt[3]{a^3a^3}=3a^2 \\ 1+b^3+b^3 \ge 3\sqrt[3]{b^3b^3}=3b^2 \end{cases}$
suy ra: $2+2(a^3+b^3) \ge 3(a^2+b^2)  \Leftrightarrow a^2 + b^2 \le 2$

2. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh $\dfrac{1}{a^2+b+c}+\dfrac{1}{b^2+c+a}+\dfrac{1}{c^2+a+b} \le 1$

Hướng dẫn
Áp dụng BĐT B.C.S: $(a.1+\sqrt{b}.\sqrt{b}+\sqrt{c}.\sqrt{c})^2 \le (a^2+b+c)(1+b+c)$
$\Leftrightarrow \dfrac{9}{a^2+b+c} \le 1+b+c$
Tương tự:   $\dfrac{9}{b^2+c+a} \le 1+c+a \\ \dfrac{9}{c^2+a+b} \le 1+a+b$
Suy ra: $\dfrac{9}{a^2+b+c}+\dfrac{9}{b^2+c+a}+\dfrac{9}{c^2+a+b} \le 3+2(a+b+c)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a^2+b+c}+\dfrac{1}{b^2+c+a}+\dfrac{1}{c^2+a+b} \le 1$

3. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh $\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc} \ge 16$

Hướng dẫn
Áp dụng BĐT Cauchy: $(a+b)+c \ge 2\sqrt{(a+b)c}  \Leftrightarrow 1 \ge 4(a+b)c \Leftrightarrow \dfrac{1}{(a+b)c} \ge 4 \,\, (1)$
Ta có: $(ac+bc)\left ( \dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc} \right ) \ge 4  \Leftrightarrow  \dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc} \ge \dfrac{4}{(a+b)c} \,\, (2)$
Thế (1) vào (2): $\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc} \ge 16$