Tích phân từng phần

Tính  các tích phân sau:
a) $A= \displaystyle \int \limits_{1}^{3} \dfrac{3+\ln x}{(x+1)^2}dx$
b) $B = \displaystyle \int \limits_{0}^{1} x\ln (x^2+1)dx$
c) $C = \displaystyle \int \limits_{0}^{1} \dfrac{\ln (2x^2 +4x +1)}{(x+1)^3}dx$
d) $D = \displaystyle \int \limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\ln (\sin x +\cos x)}{\sin ^2x}dx$
e) $E = \displaystyle \int \limits_{0}^{1} \dfrac{3x+4}{(2x+1)^2 (5x+3)}dx$

Giải toán bằng phương pháp quy nạp

Giải toán bằng phương pháp quy nạp

Hôm nay chúng ta sẽ học về phép quy nạp toán học. Thông thường, chúng ta sẽ dùng quy nạp để chứng minh một phát biểu nào đó đúng với mọi số tự nhiên.

Phân tích nhanh một phân thức

Khi ta cần phân tích $\dfrac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}=\dfrac{A}{x-x_1}+\dfrac{B}{x-x_2}+\dfrac{C}{x-x_3}$ (bậc của $P(x)$ nhỏ hơn 3)

Phương pháp chung của dạng toán này là bạn phải sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số: quy đồng mẫu số rồi đồng nhất hệ số hai vế để xác định các hệ số A, B, C. Tuy nhiên, nếu làm theo cách này sẽ rất lâu và tốn nhiều công sức.

Có thể cải tiến bằng cách: sau khi quy đồng mẫu số thì cho x những giá trị đặc biệt để xác định A, B, C thay cho việc đồng nhất hệ số. Đây cũng là 1 cách hay.

Tuy nhiên, có một cách khác, giúp ta tính nhanh các hệ số mà không cần phải trải qua bước quy đồng mẫu số. $\dfrac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}=\dfrac{A}{x-x_1}+\dfrac{B}{x-x_2}+\dfrac{C}{x-x_3}$

Để xác định hệ số A, ta chỉ cần che biểu thức $(x-x_1)$ ở vế trái lại, nghĩa là khi đó ở vế trái ta sẽ có: $\dfrac{P(x)}{(x-x_2)(x-x_3)} \,\, (*)$ . Sau đó thế $x=x_1$ vào (*) thì giá trị tính được chính là hệ số A, hay: $A=\dfrac{P(x_1)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} $

Tương tự: Để xác định hệ số B, ta chỉ cần che biểu thức $(x-x_2)$ ở vế trái lại, nghĩa là khi đó ở vế trái ta sẽ có: $\dfrac{P(x)}{(x-x_1)(x-x_3)} \,\, (**)$. Sau đó thế $x=x_2$ vào (**) thì giá trị tính được chính là hệ số B, hay: $B=\dfrac{P(x_2)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)} $

Tương tự: $C=\dfrac{P(x_3)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} $

Ví dụ: $\dfrac{3x-4}{x(x+1)(x-2)} $ $=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{C}{x-2}$

Che thừa số $x$ ở mẫu số và thế $x = 0$ vào phân thức ta có: $A=2$

Tương tự, che thừa số $(x+1)$ ở mẫu số rồi thế $x = -1$ vào phân thức ta có: $B=\dfrac{-7}{3}$ và che thừa số $(x-2)$ lại rồi thế $x = 2$ vào phân thức ta có: $C=\dfrac{1}{3}$

Như vậy bạn sẽ có: $\dfrac{3x-4}{x(x+1)(x-2)}=\dfrac{2}{x}-\dfrac{7}{3(x+1)}+\dfrac{1}{3(x-2)}$

Lưu ý: Cách này chỉ áp dụng cho phân thức có mẫu là tích các thừa số bậc nhất

Giải phương trình: $21x-25+2\sqrt{x-2}=19\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x+1}$

Giải phương trình: $21x - 25 + 2\sqrt {x - 2} = 19\sqrt{x^2 - x - 2} + \sqrt {x + 1}$

Giải phương trình $\sin^m x+\cos^n x=1$

Phương trình $ \sin^m x + \cos^n x=1$

Nguyên hàm $I=\int \sqrt{ax^2+bx+c} \mbox{d}x $

Nguyên hàm dạng: $I=\int \sqrt{ax^2+bx+c} dx (a>0)$

Nguyên hàm $I=\int \dfrac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx$

Nguyên hàm dạng: $I=\int \dfrac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx \;\; (a>0)$

Giải phương trình bậc bốn bằng CASIO

Giả sử ta cần giải phương trình bậc bốn $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$.

Gọi $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.

Bước 1. Bạn nhập biểu thức $f(x)$. Bạn dùng phím SHIFT SOLVE để giải phương trình $f(x) = 0$, bạn có thể được một nghiệm rất lẻ. Bạn gán nghiệm này vào phím $A$ bằng cách bấm SHIFT STO A.

Bước 2. Bạn lấy biểu thức $f(x)$ chia cho $x - A$, bằng cách viết (f(x)) : (ALPHA X - A) rồi lại dùng SHIFT SOLVE để giải phương trình này. Được thêm một nghiệm nữa, bạn lại gán nghiệm này vào phím $B$.

Bước 3. Bạn lấy biểu thức $f(x)$ chia cho $(x - A)*(x - B)$, bằng cách viết (f(x)) : ((ALPHA X - A)(ALPHA X - B)), dùng SHIFT SOLVE để giải phương trình này. Được thêm một nghiệm nữa, bạn lại gán nghiệm này vào phím $C$.

Bước 4. Bạn lại giải phương trình (f(x)) : ((ALPHA X - A)(ALPHA X - B)(ALPHA X - C)) và gán nghiệm này vào phím $D$.

Bước 5. Bạn cộng $A$ và $B$ bằng cách bấm ALPHA A + ALPHA B . Nếu bạn được tổng $A + B$ là số nguyên thì tính tiếp $A*B$, nếu là một số nguyên thì tốt quá. Theo định lí Viet: $A$, $B$ là nghiệm của phương trình $x^2 - (A + B)x + A*B = 0$. Khi đó, bạn chỉ việc lấy $f(x)$ chia cho $x^2 - (A + B)x + A*B $ thì được nhân tử còn lại.

Trong trường hợp tổng $A + B$ và $A*B$ không là một số nguyên, thì bạn tiếp tục thử $A + C$ và $A*C$ hoặc $A + D$ và $A*D$.

Ví dụ: giải phương trình $x^4 + 3x^3-2x^2-7x+3=0$

Bước 1 ALPHA X ^ 4 + 3 ALPHA X ^ 3 - 2 ALPHA X ^ 2 - 7 ALPHA X + 3 SHIFT SOLVE = SHIFT STO A

Bước 2 ( ALPHA X ^ 4 + 3 ALPHA X ^ 3 - 2 ALPHA X ^ 2 - 7 ALPHA X + 3): (ALPHA X - A) SHIFT SOLVE = = SHIFT STO B

Bước 3 ( ALPHA X ^ 4 + 3 ALPHA X ^ 3 - 2 ALPHA X ^ 2 - 7 ALPHA X + 3): ((ALPHA X - A)(ALPHA X - B)) SHIFT SOLVE = = = SHIFT STO C

Bước 4 ( ALPHA X ^ 4 + 3 ALPHA X ^ 3 - 2 ALPHA X ^ 2 - 7 ALPHA X + 3): ((ALPHA X - A)(ALPHA X - B)(ALPHA X - C)) SHIFT SOLVE = = = = SHIFT STO D

Bước 5 ALPHA A + ALPHA B = -2 , ALPHA A * ALPHA B = -1

Vậy A, B là nghiệm của phương trình $x^2+2x-1=0$ thực hiện phép chia ta có: $x^4 + 3x^3-2x^2-7x+3=(x^2+2x-1)(x^2+x-3)=0$

Giải hệ phương trình : $\begin{cases}x^2-2xy+2y+15=0 \\ 2x-2xy+y^2+5=0 \end{cases}$

Giải hệ phương trình : $\begin{cases}x^2-2xy+2y+15=0 \;\;  (1)\\ 2x-2xy+y^2+5=0 \;\; (2) \end{cases}$

Dùng đạo hàm để tính giới hạn

Bước1 : Đưa giới hạn cần tính về dạng $ \underset{x \to x_0}{lim}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $

Bước2 : Xét hàm số y = f(x). Tính $ f(x_0), f'(x), f'(x_0) $

Bước3 : Kết luận $ \underset{x \to x_0}{lim}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) $

Chú ý: Một số trường hợp ta phải biến đổi về dạng $ \underset{x \to x_0}{lim}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}{\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}} = \dfrac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$

Ví dụ: Tính $ \underset{x \to 0}{lim}\dfrac{\ln (x+1)}{x} $

Đặt $ f(x) = \ln (x + 1) $

Ta có: $ f'(x) = \dfrac{1}{x+1}, f'(0) = 1 $ (f '(0) tồn tại)

$ \underset{x \to 0}{lim}\dfrac{\ln (x+1)}{x} = \underset{x \to 0}{lim}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} =f'(0)= 1 $

Tìm số hạng tổng quát

Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ biết $\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = 3+4u_n , (n \ge 1) \end{cases}$

Giải:

Đặt $v_{n+1} = u_{n+1} +{\color{Red} 1}$

Ta có $v_{n+1}= u_{n+1} +1=3+4u_n +1=4(u_n +1) =4v_n$

nên $(v_n)$ là cấp số nhân với $v_1 = 3; , q=4$

do đó $v_n = v_1.q^{n-1}=3.4^{n-1}$. Vậy $u_n=3.4^{n-1}-1$

Câu hỏi: Tại sao lại đặt $v_{n+1} = u_{n+1} + 1$ mà không là $v_{n+1} = u_{n+1} + 10$ hay một số nào khác
Ta tìm số $b$ trong $v_{n+1} = u_{n+1} + b$ sao cho $(v_n)$ là một cấp số nhân
$v_{n+1}= u_{n+1} +b=3+4u_n +b=4(u_n +1) +b-1$ suy ra $b-1=0$ hay $ b =1$

Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ biết $\begin{cases} u_1 = a \\ u_{n+1} = b+qu_n , (n \ge 1) \end{cases} (q \ne 0 ;1)$

Giải:

Đặt $v_{n+1} = u_{n+1} +c$ sao cho $v_{n+1} = q.v_n$

Ta có $v_{n+1}=q.v_n \Leftrightarrow u_{n_1}+c=q(u_n + c) \Leftrightarrow b+q.u_n + c= q.u_n + qc \Leftrightarrow c=\dfrac{b}{q-1}$

Khi đó $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1 =u_1 +c =\dfrac{b}{q-1}+c$
$u_n =v_n-c =v_1.q^{n-1}-c=\boxed{\left ( \dfrac{b}{q-1}+c \right ).q^{n-1}-\dfrac{b}{q-1}}$

Bài toán 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy $(u_n)$: $\begin{cases} u_1 = 1 \;\; u_2=5 \\ u_{n+2} = 5u_{n+1}-6u_n , (n \ge 1) \end{cases}$

Giải:

Từ giả thiết: $u_{n+2} -{\color{Red}2}u_{n+1}={\color{Green} 3}(u_{n+1}-{\color{Red}2}u_n) $

$u_{n+2} -t_1.u_{n+1}=t_2(u_{n+1}-t_1.u_n) \Leftrightarrow u_{n+2} =(t_1+t_2)u_{n+1}-t_1.t_2.u_n $

nên $t_1 , t_2 $ là nghiệm của phương trình: $X^2 -5X +6=0 \Leftrightarrow X=2 \vee X = 3$

Đặt $v_{n+1}=u_{n+2}-2u_{n+1}$ thì $(v_n)$ là cấp số nhân có $q=3$ và $v_1=u_2-2u_1=3$

Ta có $v_{n}=u_{n+1}-2u_{n}=v_1.3^{n-1}=3^n \Leftrightarrow u_{n+1}=2u_{n}+3^n$

Đặt $w_{n+1}=u_{n+1}+k.3^n$ sao cho $w_{n+1}=2w_n$.

Cách làm tương tự bài toán 2 ta được : $k=-3$

Do $(w_n)$ là cấp số nhân có công bội $q'=2$ và $w_1=u_1+k.3^0=-2$

Ta có $w_n=w_1.2^{n-1}=-2^n \Rightarrow u_n=w_n-k.3^{n-1}=w_n+3^n=3^n-2^n$

Phương trình bậc bốn

Phương trình bậc bốn $ x^4 + bx^3 + cx^2 +dx + e = 0 $

Đặt $ x = t - \dfrac{b}{4} $. Đưa phương trình về dạng: $ x^4 = Ax^2 + Bx + C $
Cộng 2 vế cho $ 2mx^2 + m^2 $ (m là một số thực) $ pt \Leftrightarrow x^4 + 2mx^2 + m^2 = (2m + A)x^2 + Bx + C + m^2 $

Ta thấy vế trái có dạng $ (x^2 + m)^2 $, do đó ta sẽ chọn m sao cho vế phải cũng có dạng bình phương một nhị thức :
Xét vế phải là tam thức bậc hai theo x
$ \Delta = B^2 - 4(2m + A)(C + m^2) = 0 $: đây là pt bậc 3 theo m nên chắc chắn có nghiệm thực (chọn m một giá trị)

Lúc đó, ta sẽ có phương trình giải được: $ (x^2 + m)^2 = Y^2 $

Lưu ý: Cách này khó áp dụng khi không tìm được m hữu tỉ

Phương trình bậc ba

Bước 1: Chia 2 vế cho hệ số $x^3$, đưa về dạng $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$
Bước 2: Đặt $ x = y - \dfrac{a}{3} $ đưa phương trình về dạng $ y^3 + py + q = 0 $ hay $ \mathbf{x^3 + px + q = 0} $

Cách 1 (Viete)
Đặt $ x= \dfrac{p}{3t} - t $
Phương trình trở thành $ t^6 - qt^3 - \dfrac{p^3}{27} = 0 $
Đây là phương trình bậc hai theo $ t^3 $, giải được.

Cách 2
1. p = 0: pt có nghiệm $x=-\sqrt[3]{q} $
2. p > 0: Đặt $ x=\left(\sqrt[3]{t}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{t} }\right)\sqrt{\dfrac{p}{3}} $
Phương trình trở thành $ t-\dfrac{1}{t}=m $
Đây là phương trình bậc hai, giải được.
3. p < 0: Đặt $ x=z\sqrt{-\dfrac{p}{3}} $
Đưa phương trình về dạng: $ z^3- 3z = m $
a) $ | m | < 2 $: Đặt $ z = 2\cos t $ đưa pt về dạng $ 2.\cos3t = m $
b) $ | m | \geq 2 $: Đặt $ z=\sqrt[3]{t}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{t}} $
Phương trình trở thành $ t+\dfrac{1}{t}=m $
Đây là phương trình bậc hai, giải được

Cách 3
phương trình $ x^3+ px +q = 0 $
Đặt x = u + v
pt $ \Leftrightarrow (u + v)^3 + p(u + v) + q = 0 \Leftrightarrow u^3 + v^3 + q + (u + v)(3uv + p) = 0 $
Tìm 2 số u, v sao cho: $ \begin{cases}u^3+v^3=-q \\ uv = - \dfrac{p}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u^3+v^3=-q \\ u^3v^3=- \dfrac{p^3}{27} \end{cases} $
$ u^3, v^3 $ là nghiệm của phương trình: $ z^2+qz-\dfrac{p^3}{27} \Leftrightarrow z=-\dfrac{q}{2}\pm \sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}} $
Vậy nghiệm của phương trình : $x=u+v=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}} $

Phép quay

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho $M$ Tìm ảnh của $M$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $\alpha $.

Giải

Đặt $(Ox,OM)=\varphi$
Ta có $M(OM\cos \varphi ; OM\sin \varphi)$
$Q_{(O;\alpha)}(M)=M'$

Ta có $(Ox,OM')=(Ox,OM)+(OM,OM')=\varphi+\alpha$ nên
$\begin{cases} x_{M'}=OM'\cos (\varphi+\alpha) \\y_{M'}=OM'\sin (\varphi+\alpha)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_{M'}=OM\cos \varphi \cos\alpha-OM\sin\varphi \sin\alpha \\y_{M'}=OM\sin \varphi \cos\alpha+OM\cos\varphi \sin\alpha \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{M'}=x_M \cos\alpha-y_M \sin\alpha \\ y_{M'}=x_M\sin\alpha +y_M\cos\alpha \end{cases}$

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho $M(\sqrt{3}; 5)$ Tìm ảnh của $M$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $120^0$.

Giải

Đặt $(Ox,OM)=\varphi$
Ta có $M(OM\cos \varphi ; OM\sin \varphi) \Leftrightarrow \begin{cases}OM\cos \varphi =\sqrt{3}\\ OM\sin \varphi=5 \end{cases}$
$Q_{(O;120^0)}(M)=M'$

Ta có $(Ox,OM')=\varphi+120^0$ nên
$\begin{cases} x_{M'}=OM'\cos (\varphi+120^0) \\ y_{M'}=OM'\sin (\varphi+120^0) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_{M'}=OM\cos \varphi \cos120^0-OM\sin \varphi \sin120^0 \\ y_{M'}=OM\sin \varphi \cos120^0+OM\cos \varphi \sin120^0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x_{M'}=\sqrt{3}(-\frac{1}{2})-5(\frac{\sqrt{3}}{2}) =-3\sqrt{3}\\ y_{M'}=5(-\frac{1}{2})+\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) =-1\end{cases}$

Vậy $M'(-3\sqrt{3} ; -1)$

Tổng quát: Phép quay tâm $I(x_0 ; y_0 )$ góc quay $\alpha $
$Q_{(I;\alpha)}(M)=M' \Leftrightarrow \begin{cases} x_{M'}-x_0 =(x_M-x_0) \cos\alpha-(y_M-y_0) \sin\alpha \\ y_{M'}-y_0=(x_M-x_0)\sin\alpha+(y_M-y_0)\cos\alpha \end{cases}$

Tính tổng chứa công thức tổ hợp

Tính các tổng sau:
a) $A=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+nC_n^n$
b) $B=2C_n^0+\dfrac{2^2}{2}C_n^1+\dfrac{2^3}{3}C_n^2+...+\dfrac{2^{n+1}}{n+1}C_n^n$