8 tháng 11, 2013

Viết phương trình tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) một góc $45^0$

Viết phương trình tiếp tuyến của $(C): y=\dfrac{3x-1}{x-3}$, biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng $(d): x + 3y - 3 = 0$ một góc $45^0$.


Tập xác định:   D = R \ {3}
Đạo hàm $y’ =\dfrac{-8}{(x-3)^2}$

Đường thẳng $x=a$ không là tiếp tuyến của $(C)$

Tiếp tuyến $(\Delta ): y=kx +b \Leftrightarrow kx-y+b=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(k;-1)$
$(d)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_d}=(1;3)$

Theo đề bài $\cos (d,\Delta )=\cos 45^0 \Leftrightarrow |\cos (\overrightarrow{n},\overrightarrow{n_d} )|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{|k-3|}{\sqrt{10}.\sqrt{k^2+1}} =\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow |k-3|=\sqrt{5}.\sqrt{k^2+1}$
$\Leftrightarrow (k-3)^2=5(k^2+1) \Leftrightarrow 2k^2+3k-2=0 \Leftrightarrow k=-2 \vee k=\dfrac{1}{2}$

* Trường hợp $k=-2$

Ta có $f ’(x_0)=k \Leftrightarrow \dfrac{-8}{(x_0 -3)^2}=-2 \Leftrightarrow \left[ \begin{align} x_0 =5 \\ x_0 = 1\end{align}\right.$

Với $x_0 = 5 : y_0 =7$ Tiếp tuyến $(\Delta )$ qua điểm $(5;7)$ nên $b=17$
Vậy $(\Delta _1): y =-2x+17$

Với $x_0 = 1 : y_0 =-1$ Tiếp tuyến $(\Delta )$ qua điểm $(1;-1)$ nên $b=1$
Vậy $(\Delta _2): y =-2x+1$

* Trường hợp $k=\dfrac{1}{2}$

Ta có $f ’(x_0)=k \Leftrightarrow \dfrac{-8}{(x_0 -3)^2}=\dfrac{1}{2}$ (phương trình vô nghiệm)

KL:

1. Có thể dùng công thức $|\tan (d,\Delta )|= | \tan[ (Ox,\Delta )-(Ox,d)] | = \left | \dfrac{\tan(Ox, \Delta )-\tan(Ox,d)}{1+\tan(Ox,\Delta ).\tan(Ox,d)}\right| $
Trong đó: $\tan(Ox,\Delta )=k$ và $\tan(Ox,d)=-\dfrac{1}{3}$

2. Đối với hình giải tích thì đường thẳng $x=a$ vẫn có thể là tiếp tuyến nên tiếp tuyến $(\Delta )$ có dạng $Ax+By+C=0$



23 nhận xét :

  1. thầy ơi chỗ công thức |cos(n,nd)|= căn 2/2 áp dụng những gì vậy

    Trả lờiXóa
    Trả lời
    1. Cho đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{a}=(a_1 ; a_2)$
      đường thẳng d' có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{b}=(b_1 ; b_2)$
      Số đo góc giữa 2 đường thẳng d và d' là:
      $\cos (d, d') = |\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} )|=\dfrac{|a_1b_1 +a_2b_2|}{\sqrt{a_1^2 +a_2^2}\sqrt{b_1^2 +b_2^2} }$

      Xóa
    2. $ |\cos (\overrightarrow{n},\overrightarrow{n_d} )|=\cos 45^0 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

      Xóa
  2. em cảm ơn thầy bài làm hay quá

    Trả lờiXóa
  3. Thầy có tài liệu phần hình tọa độ phẳng không ạ

    Trả lờiXóa
  4. bài giải rất hay và chi tiết ạ
    em cảm ơn thầy nhiều

    Trả lờiXóa
  5. thầy ơi cho em hỏi dòng :
    Đường thẳng x=a không là tiếp tuyến của (C)
    có nghĩa là gì vậy thầy .
    Ở trường em, sau khi đạo hàm xong là phải ghi dòng:
    Pttt của (C) có dạng là :
    y=y'(x)(x-x0)+y0 với T(x0;y0) thuộc (C)
    Mong thầy giải đáp giúp em, em cảm ơn thầy nhiều.

    Trả lờiXóa
  6. Ghi phương trình tiếp tuyến có dạng: $y=y'(x_0)(x-x_0)+y_0$ là hoàn toàn chính xác, nhưng để tìm được phương trình ta cần tìm 3 giá trị là $x_0, y_0, y'(x_0)$ còn nếu ghi phương trình tiếp tuyến là $y=kx+b$ thì ta chỉ cần tìm 2 giá trị là $k, b$.
    Các đặt này ngắn gọn trong trường hợp đề cho giá trị góc.
    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ngoài đồ thị (C) còn nhiều dạng khác nữa như đường tròn, elip, ..

    Trả lờiXóa
  7. Thầy ơi thế còn tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc 45 độ thì làm ntn ạ

    Trả lờiXóa
    Trả lời
    1. Lúc đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng tang của $45^0$
      $k=\pm tan45^0=\pm 1$

      Xóa
  8. Ví dụ như y'=-1/(x-1)^2=> y'=+_tag45* rồi giải ra hả thầy?

    Trả lờiXóa
  9. thầy ơi câu này thì lm s ạ: tìm điểm P trên đường thẳng d:2x-y+3=0 sao cho 2 tiếp tuyến kẻ từ P tới (C) tạo với nhau góc 60 độ

    Trả lờiXóa
  10. Cho (C) là đường tròn tâm I, bán kính R
    Gọi 2 tiếp điểm là M, N.
    Ta có tam giác PMN đều nên góc $\widehat{IPM}=30^0$, trong tam giác vuông IPM tính được $IP=R\sqrt{3}$
    Vậy P là điểm trên d sao cho $IP=R\sqrt{3}$

    Trả lờiXóa
  11. thầy ơi câu này làm sao ạ .tìm M trên (C):Y=2x+4/x+1 sao cho tiếp tuyến tại M tạo với y=3x+1 một góc 45o

    Trả lờiXóa
  12. Thầy ơi nếu e tìm k ra căn lằng nhằng quá thì phải làm sao thầy

    Trả lờiXóa
  13. 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):x^2+y^2-2x-6y+9=0 biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d):2x-y=0 một góc 45^0

    bài nay làm sao thầy

    Trả lờiXóa
    Trả lời
    1. Gọi VTPT của tiếp tuyến $\Delta$ là $\overrightarrow{n}=(a;b)\neq \overrightarrow{0}$, VTPT của d là $\overrightarrow{n'}=(2;-1)$
      Theo đề bài: $\dfrac{\left | \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'} \right |}{\left | \overrightarrow{n} \right |\left | \overrightarrow{n'} \right |}=\cos45^0$
      Giải được 2 VTPT là : $ \overrightarrow{n_1}=(3;1), \overrightarrow{n_2}=(1;-3)$
      Trường hợp 1: $(\Delta _1): 3x+y+c=0$, dùng điều kiện tiếp xúc để tìm c
      Trường hợp 2: tương tự

      Xóa
  14. cảm ơn thầy ạ

    Trả lờiXóa
  15. Thầy ơi giải câu này sao ạ. Cho đường tròn C: x^2+y^2-6x-2y+5=0. Lập pt tiếp tuyến của đường tròn C biết tiếp tuyến tạo với d:3x+y-3=0 một góc 45°

    Trả lờiXóa

Chào bạn, nếu có thắc mắc, khen - chê xin để lại bình luận. Mỗi nhận xét của bạn đều rất quan trọng. Rất vui khi bạn viết bằng tiếng Việt có dấu.